Задание 2. Вычислить производные функций.
1)
2)
3)
4)
- Интервалы монотонности, экстремум функции одной переменной. Выпуклость, вогнутость функции, точки перегиба.
При построении графика функции надо найти:
1) область определения
2) четность, нечетность
3) интервалы возрастания и убывания, экстремумы
4) интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба
5) асимптоты
Экстремумы функции находятся по следующей схеме:
1) Находим производную, приравниваем к нулю, решаем это уравнение. Корни уравнения называются критическими точками. Корни знаменателя производной тоже называются критическими точками.
2) Критические точки отмечаем на прямой и на каждом интервале ставим знак
производной
3) Если , на этом интервале функция возрастает, если , на этом интервале функция убывает.
4) Если при переходе через критическую точку производная меняет свой знак с «плюс» на «минус», то в точке - максимум. Если при переходе через критическую точку производная меняет свой знак с «минус» на «плюс», то в точке - минимум.
Пример. Найти экстремумы функции
Отмечаем точки на оси и ставим знаки производной.
В точке - максимум, в точке - минимум. Подставляя и в функцию, найдем .
Пример. Построить график функции
Найдем точки пересечения графика с осью .
Экстремумы найдены в предыдущем примере.
.
Пример. Построить график функции
Найдем экстремумы.
Отмечаем точки на прямой и на полученных интервалах ставим знаки производной.
Строим график функции.
- Неопределенный интеграл.
Функция называется первообразной функции , если . Например, для первообразной будет функция , так как . Для функции первообразной будет функция , так как . Заметим, что если первообразная функции , то , где С – любое число, тоже первообразная функции , так как .
Множество первообразных функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается .
Например, , так как
Запишем таблицу неопределенных интегралов.
1) 8)
2) 9)
3) 10)
4) 11)
5) 12)
6) 13)
7)
При нахождении неопределенного интеграла используют правила:
1. , то есть постоянный множитель выносится
за знак интеграла
2. , то есть интеграл от суммы равен
сумме интегралов.
Пример.
По определению Например,
Пример.
Пример.
Дифференциалом функции называется
Например:
1)
2)
3)
Пример.
Пример.
Пример.
Пример.
Выражение называется полным квадратом.
Пример.
При нахождении интегралов иногда используют формулу
Например:
Пример.