Явление распространения колебаний в пространстве называется волновым движением или волной.
Уравнение волны выражает зависимость смещения Ψ колеблющейся точки, участвующей в волновом процессе, от ее координаты х и времени t.
Волна называется продольной, если колебания частиц происходят вдоль линии распространения волны; если колебания частиц перпендикулярны к направлению распространения волны, то волна называется поперечной.
Геометрическое место точек, до которых к некоторому моменту времени дошло колебание, называется фронтом волны. Можно также в среде выделить геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковых фазах. Эта совокупность точек образует поверхность одинаковых фаз или волновую поверхность. Форма фронта волны определяет тип волн, например, у сферической волны фронт представляет собой сферу.
Скорость распространения волны есть скорость распространения данной фазы (волновой поверхности). Ее называют фазовой скоростью υ волны.
Расстояние, на которое определенная фаза колебания распространяется за один период Т колебания, называется длиной волны λ =υ· T.
|
|
Простейшим видом волн является плоская волна. Колебания частиц среды в ней происходят в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения. Если колебания в каждой точке следуют гармоническому закону и происходят с одной частотой, то волна называется гармонической и монохроматической.
Уравнение плоской волны, распространяющейся в положительном направлении оси х, имеет вид: (17),
где А(х) = A0·e-rx – амплитуда колебаний точек среды, расположенных на расстоянии x от источника колебаний (в среде без затухания А=А0= const). Так как ω =2π/ T, то: (18).
Здесь k=2π/λ=2π/ (υ· T)=2πν/υ=ω/υназывается волновым числом и является модулем волнового вектора , указывающего направление распространения волны.
Уравнение волны в виде (18) – одно из возможных решений общего дифференциального уравнения, описывающего распространение возмущения в среде. Это общее уравнение называется волновым уравнением. Его можно получить, взяв от функции Ψ вторые производные по х и t,: (19),
где учтено, что в данном случае производные являются частными и сделана замена Выражение (19) справедливо для волн любой природы.
Вещество вместе с волной не переносится. Частицы вещества только колеблются каждая около своего положения равновесия. Колебания передаются вдоль направления распространения волны, вместе с ними передается и их энергия. Для описания этого процесса вводят вектор плотности потока энергии (вектор Умова) , который направлен в сторону распространения волны, а его модуль равен энергии, переносимой волной через единицу площади за единицу времени.
|
|
Выделим на фронте плоской волны (рис.) единичную площадку S. Через единицу времени фронт сместится на расстояние, равное скорости распространения волны υ и займет положение S ’. Если в единице объема содержится энергия w (плотность энергии), то за единицу времени через сечение S ’= 1 пройдет вся энергия, заключенная в объеме между сечениями S и S ’, т. е. w·υ. Это и есть вектор Умова, если записать в векторной форме: . Он измеряется в Дж/(с·м2) или, что то же самое, в Вт/м2. Эта формула справедлива не только для механических волн, но и для волн любой природы, например электромагнитных.
Объемную плотность энергии w упругой волны получим, если рассмотрим в какой-либо области пространства колебание частиц среды объемом dV и массой dm=ρ·dV. Полная энергия колебаний этих частиц, согласно (7), будет равна:
(20),
где ρ – плотность вещества среды; ω – частота колебаний, А0 – амплитуда колебаний.
Откуда следует, что: (Дж/м3) (21).
.
В самом общем случае энергия волны, заключенная в некотором объеме V, согласно (21), рассчитывается по формуле: (22).