Эвристические алгоритмы

Наиболее представительным направлением исследований читателей стал поиск эвристических приемов построения с использованием циркуля и линейки.

Один из элегантных приемов определения положения точек C и D (при котором точность построения составляет 0.73%) независимо предложили регулировщик проводной связи В.А.Щекотков из пос. Электроизолятор Моск.обл. и студент Харьковского института радиоэлектроники С.Л.Дидык, на основе использования двух вспомогательных секущих, проходящих через точки пересечения больших треугольников (рис. 11).

Секущую для точки D обнаружил также вышеупомянутый В.Э.Смирнов из Уфы, при этом он доказал из подобия треугольников 1-3-A- и 2-D-A-, что положение точки D получается в этом случае с абсолютной точностью (рис. 12). При этом итерационный цикл перестроения компонента 1 становится ненужным, и предложенная формула 1 вычисления трудоемкости построения звезды незначительно упрощается: N=bcd+cd+d. Попутно В.Э.Смирнов обнаружил элегантный способ ускоренного итеративного построения компонента 2 (см. также рис. 12).

Все это является дополнительным косвенным подтверждением правильности основного направления наших рассуждений, по крайней мере, относительно приоритетности (или большей близости к прототипу) звезд типа II по сравнению со звездами типа I.

Рис. 12. Метод В.Э.Смирнова	Рис. 13. Метод Г.П.Минаева

К числу удачных относится и метод каменщика из г.Сумы Г.П.Минаева, (точность=1.6%) с использованием следующих соотношений между длинами L отрезков: L(2,3)=L(3,1), L(5,C)=L(3,D)/2. Он же предложил и два наиболее удачных способа определения параметра yA: yA=R/3.6 и xS=R*0.75 (S - точка пересечения больших треугольников), отличающихся от точных значений на 0.6% и 0.2% (рис.13).

Рис. 14. Предельная форма звезды (памяти Индиры Ганди)

Большинство читателей упростили себе задачу, игнорируя трудное для выполнение условие соосности внешней и внутренней окружности, сократив трудоемкость своей задачи до вполне приемлемой величины N=bc+c (с учетом доказательства В.Э. Смирнова), и получили за счет этого свободу выбора значения yA.

Это позволило вышеупомянутым Г.П.Овсяникову и В.А.Щекоткову проследить изменение геометрии звезды при изменении yA и обнаружить предельную форму звезды Шри Янтры при yA=0.1355, касающуюся внешней окружности своими 12 угловыми точками (рис. 14, при дальнейшем уменьшении yA треугольники звезды выходят за границы внешнего круга). Г.П.Овсянников и В.А.Щекотков по приоритету первооткрывателей посвятили этот вариант звезды памяти Индиры Ганди. В этой связи примечательно, что самое первое сообщение о первоначальных результатах математического исследования Шри Янтры появилась в сентябрьском номере 21 журнала Soviet Land (Родина) за 1984 год, который содержал и экстренный выпуск о трагической гибели великой дочери великого индийского народа.

Рис. 15. Метод В.Н.Зайцева	Рис. 16. Метод А.М.Харламова.

Многие авторы в своих работах исходили из содержательных соображений, используя в качестве опорных значений различные структурные компоненты Шри Янтры: лепестки окружающих лотосов, радиус R внешней окружности и др. Первые достаточно точные и оригинальные решения в этом направлении предложили В.Н.Зайцев из Оренбургской области (точность 0.897%, рис. 15) и А.М.Харламов из Евпатории (точность 1.27%, рис. 16).

Всю полученную корреспонденцию завершало письмо от 25.9.89 В.Г.Шувалова из г.Ефремов Тульской области, который предложил крайне интересное развитие этого направления с опорой на 16-лепестковый лотос, который делит окружность на 32 равные части.

Он начал свое построение с произвольного квадрата, на котором построил описанную и вписанную окружности (рис. 17). Затем простым чертежным приемом он дорисовал еще 7 промежуточных квадрата, тем самым получив 32 деления окружности. Далее по полученным точкам были найдены и проведены 4 опорные секущие (на рис.17 они обозначены цифрами 1-4), которые и определили положение базовых горизонталей для точек A,C,D,B. Точность полученного таким методом построения составила 0.135%, что находится на уровне лучших результатов, достигнутых итеративным черчением! Далее, проведя секущую через вершины двух квадратов со смещением на 6 делений (на рис. 17 она отмечена цифрой 5), по касательной к ней В.Г.Шувалов построил окружность для внутреннего 8-лепесткового лотоса и обнаружил, что на характерные точки этой окружности проецируются с хорошей точностью большинство сторон треугольников звезды.

Рис. 17. Метод В.Г.Шувалова	Рис. 18. Метод П.К.Радха