Для измерения вариации (колеблемости) признака в статистике применяются различные абсолютные и относительные показатели:
1. Размах вариации.
2. Среднее линейное отклонение.
3. Относительное среднее линейное отклонение.
4. Дисперсия.
5. Коэффициент вариации.
Относительными показателями вариации являются коэффициент вариации и относительное среднее линейное отклонение, остальные из перечисленных показателей — абсолютные величины.
Размах вариации определяется как разность между максимальным и минимальным значением изучаемого признака:
(4.1)
Размах вариации является самым простым показателем колеблемости признака. Недостаток его состоит в том, что он показывает отклонение только крайних значений признака и не дает обобщенной характеристики вариации.
Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая абсолютных отклонений индивидуальных значений признака от среднего уровня этого признака/
Для несгруппированных данных
. (4.2)
Для сгруппированных данных
|
|
. (4.3)
Заметим, что в числителе формул (4.2) и (4.3) представлены суммы абсолютных отклонений без учета знака. Если разности суммировать с учетом знака, числитель этих формул всегда будет равен нулю.
Относительное среднее линейное отклонение определятся как отношение среднего линейного отклонения к средней арифметической, и выражается в процентах:
. (4.4)
Дисперсия представляет собой среднюю арифметическую из квадратов отклонений индивидуальных значений признака от среднего уровня.
Для несгруппированных данных дисперсия определяется по формуле
. (4.5)
Для сгруппированных данных
. (4.6)
Среднее квадратическое отклонение — квадратный корень из дисперсии.
Для несгруппированных данных
. (4.7)
Для сгруппированных данных
. (4.8)
Этот показатель является мерой надежности средней: чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем точнее средняя арифметическая отражает средний уровень признака.
Коэффициент вариации определяется по формуле
. (4.9)
Этот показатель служит относительным измерителем колеблемости признака и однородности совокупности. Если его значение превышает 33%, то совокупность квалифицируют как недостаточно однородную.
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются наиболее широко применяемыми показателями вариации. Это связано с тем, что они относятся к числу основополагающих показателей теории вероятности и математической статистики, служащих фундаментом теории статистики.
В экономических исследованиях среднее квадратическое отклонение часто используется при определении уровня различных рисков.
|
|
Пример. По данным таблицы 4.1 оценим уровень колеблемости стажа рабочих цеха.
Таблица 4.1 – Распределение рабочих цеха по стажу
№ | Стаж рабочего | Количество рабочих | Расчетные величины | ||||
1,7 | 5,1 | 2,89 | 8,67 | ||||
0,7 | 2,8 | 0,49 | 1,96 | ||||
0,3 | 1,5 | 0,09 | 0,45 | ||||
1,3 | 3,9 | 1,69 | 5,07 | ||||
2,3 | 2,3 | 5,29 | 5,29 | ||||
Итого | х | 15,6 | х | 21,44 |
1. Размах вариации:
2. Среднее линейное отклонение:
3. Относительное среднее линейное отклонение:
=
4. Дисперсия:
5. Среднее квадратическое отклонение:
6. Коэффициент вариации.