2015-03-07
252
Рассмотрим периодическую функцию 
При выполнении ряда условий (кусочность, гладкость, ограниченность) она раскладывается в тригонометрический ряд или ряд Фурье
(28)
(29)
где 
- коэффициенты ряда Фурье.
Действительно, если умножить (28) на 
и проинтегрировать, то:
 |
Очевидно, что
тогда
2)
Тогда, остаётся
Откуда и следует определение 
(см.(29)). Аналогично 
. (Домашнее задание).
Если функции 
задана только на отрезке [0,T], то её всегда можно сделать периодической.
 |
f(t)
 | | | |||
 | | | |||
| | |
0 T 2T 3T t
Такой сигнал нельзя спутать с сигналом,
 |
 | |
где на краях всегда нули (это означает, что приёмник всегда включён). Такой сигнал уже никогда не сделать периодическим.
На практике, приёмник всегда имеет время включения и время выключения, поэтому всегда в качестве периода можно взять время работы приёмника.
 |
|
|
|
Сигнал периодичен с T, но в тоже время в нём видна периодичность с T 0. С такими сигналами мы встретимся дальше.
Чётная функция 
Тогда 
и ряд раскладывается только по косинусам.
Нечётная функция 
Тогда 
и ряд только по синусам.
Бывает «сдвинутая» чётность, когда 
с этими случаями также встретится позже.
Любая функции может быть представлена в виде суммы чётной и нечётной функций.
Введём
Очевидно её чётность 
Введём 
Она нечётна 
Но тогда 
При этом, формулы для четной и нечетной функции будут иметь вид:
(30)
