Как указывалось выше, для проточного реактора время пребывания в аппарате отдельных элементов потока является в общем случае непрерывной случайной величиной, т. е. имеет статистическую природу. Непрерывная случайная величина может быть задана с помощью функций распределения случайной величины. Различают интегральную функцию распределения F(τ) и дифференциальную функцию, или плотность распределения f(τ).
Интегральная функция распределения времени пребывания F(τ) – это объемная доля потока, выходящего из реактора, которая находилась в реакторе в течение времени, меньшего чем τ.
В терминах теории вероятности F(τ) – это вероятность того, что время пребывания потока, вошедшего при τ0 = 0, не превысит некоторого значения τi:
F(τi) = Р ( τ ≤ τi )
Свойства интегральной функции распределения:
F (0) = 0;
F (∞) = 1
если τ2 > τ1, то F(τ2) ≥ F ( τ1 )
Если τ – непрерывная случайная величина, то F(τ) –непрерывная функция, и тогда dF(τ) – это объемная доля выходного потока, время пребывания которой в аппарате находится между значениями τ и dτ.
|
|
Производная dF(τ)/dτ = f(τ) называется дифференциальной функцией распределения, или плотностью распределения случайной величины.
Дифференциальная функция распределения в данной задаче определена при τ > 0 и характеризуется следующими свойствами:
f (τ) ≥ 0
(12.1)
Величина f (τ)dτ имеет такой же физический смысл, что и dF(τ).
Например, если τ i – какое-то конкретное значение времени пребывания в интервале от τ до τ + d τ, то
f(τi)dτ = [dF(τi)] = Р(τ ≤ τi ≤ τ + dτ) (12.2)
Вероятность того, что время пребывания фиксированной доли потока в реакторе находится в конечном интервале от τ1 до τ2
Вероятность того, что время пребывания фиксированной доли потока в реакторе больше любого заданного значения τ:
Среднее время пребывания фиксированной доли потока в реакторе равно математическому ожиданию непрерывной случайной величины, имеющей данную функцию распределения:
(12.3)
Экспериментальное изучение функций распределения
Экспериментально функция распределения времени пребывания может быть найдена исследованием так называемых кривых отклика.
Итак, мы хотим знать, какое количество текущей жидкости будет находиться в аппарате то или иное время. При этом отдельные частицы жидкости для наснеразличимы: мы не изучаем поле скоростей и не можем сказать, каким образом та или иная частица прошла от входа к выходу. Поэтому, обнаружив на выходе какую-либо частицу жидкости, нельзя сказать, вошла она в аппарат минуту назад или находилась в нем в течение часа.
|
|
Чтобы различить частицы, поступим так. Выделим из всей совокупности частиц те, которые вошли в аппарат в некоторый зафиксированный момент. Момент этот примем за начало опыта. Если аппарат работает непрерывно в стационарном режиме то «судьба» выделенных частиц (например, распределение времени пребывания) не будет отличаться от «судьбы» любых других. Таким образом, выделенные частицы образуют представительную выборку из генеральной совокупности частиц, движущихся через аппарат. Для выделения интересующих нас частиц пометим жидкость, входящую в аппарат в момент, который примем за начало опыта (при τ = 0). Для этого во входящий поток быстро (теоретически мгновенно) добавляем порцию какой-либо примеси, называемой индикатором, или трассером. Схема установки изображена на рис. 12.2.
Рис. 12.2. Схема установки для измерения распределения времени пребыва ния:
1 - ввод индикатора; 2 - вход в аппарат; 3 - выход из аппарата; 4 – датчик концентрации индикатора; 5 -самописец.
Трассер должен быть легко количественно определим, должен отличаться по какому-либо свойству (окраске, электрической проводимости, оптической плотности, кислотности, радиоактивности и т. д.) от веществ основного потока.
Кроме того, его добавление не должно влиять на характер потока (в частности, его следует вводить мало, чтобы существенно не изменять расход), а сам он должен двигаться вместе с потоком, ни с чем не реагируя и не сорбируясь. Так, к потоку воды можно добавить немного кислоты или красителя, к воздуху – немного СО2 или Не. Начиная с момента τ = 0, на выходе из аппарата измеряют концентрацию индикатора си как функцию времени. Способ подачи трассера может быть различным: ступенчатым (до момента времени τ0 индикатор не вводили в поток, а с момента τ0, его вводят с постоянным расходом), импульсным (мгновенное введение порции индикатора) или периодическим (например, иметь синусоидальный характер). Для получения кривой отклика на входной сигнал (т.е. выходной сигнал) измеряют в разные моменты времени концентрацию или количество индикатора в потоке, выходящем из реактора.
Для определения интегральной функции распределения создают входной сигнал ступенчатой (скачкообразной) формы (рис. 12.3). Измеряя в этом случае концентрацию индикатора на выходе в момент времени τ i, и отнеся ее к начальной концентрации определяют какая доля потока находилась в проточном аппарате в течение времени, меньшего τ i.
Рис. 12.3. Входной сигнал ступенчатой (скачкообразной) формы (а)
и кривая отклика (выходной сигнал) на него (б).
Рис. 12.4. Входной сигнал импульсной формы (а)
и кривая отклика (выходной сигнал) отклика на него (б)
Такая относительная концентрация (безразмерная случайная величина)
изменяется от 0 до 1 и соответствует интегральной функции распределения F(τ), т.е. функция Ĉ (τ) обладает теми же свойствами, что и функция F(τ).
Важно отметить, что время пребывания в реакторе индикатора такое же, как и частиц основного потока, помеченных индикатором. Так как величина Ĉ (τ) безразмерная, она одна и та же и для индикатора, и для помеченного этим индикатором потока.
Дифференциальная функция распределения f(τ) соответствует кривой отклика на сигнал импульсной формы (рис. 12.4). Покажем, что это действительно так.
Пусть в момент времени τ0 на входе в проточный реактор импульсно введен индикатор в количестве nи,0. В некоторый момент времени τ i, концентрация индикатора на выходе из аппарата составит cи(τ i), а произведение v cи(τ i), где v – объемный расход, будет равно расходу индикатора в выходном потоке. Если рассмотреть два момента времени τ i, и τ i + d τ, отличающиеся между собой на бесконечно малую величину d τ, то произведение v cи(τ i) d τ покажет, какое количество индикатора покинет реактор за промежугок времени от τ i до τ i + d τ. Разделив это количество на nи,0, получим долю от первоначального количества индикатора, находившегося в реакторе в течение времени τ i от τ i до τ i + d τ. По определению такая доля равна dF(τ) или f (τ)dτ [уравнение (12.2)].
|
|
v cи(τ i) d τ = F( τ i + d τ )- F( τ i) = dF(τ) = f (τ)dτ
Следовательно,
(12.4)
Если v = const, а nи,0 постоянна по своему смыслу при импульсном введении индикатора, функция cи(τ) совпадает с функцией f (τ), с точностью до постоянного коэффициента. Это позволяет экспериментально получить дифференциальную функцию распределения, измеряя во времени концентрацию индикатора.
Как и для интегральной функции распределения, по изменению концентрации индикатора cи(τ) можно судить о времени пребывания в реакторе частиц потока, помеченных этим индикатором.
Рассмотрим теперь, как выглядят функции распределения для реакторов с идеальной гидродинамической обстановкой (реакторы идеального смешения и идеального вытеснения) и для реакторов, описываемых ячеечной и диффузионной моделями.