Реактор идеального смешения.
Выведем уравнение, позволяющее рассчитать интегральную функцию распределения F(τ) для сгационарного реактора идеального смешения, а затем дифференцированием этой функции получим дифференциальную функцию распределения f (τ).
Всоответствии с допущениями об идеальности, любой бесконечно малый элемент потока, вошедший в реактор идеального смешения, может сразу после ввода появиться с вероятностью f (τ0+Δτ) в любой точке реактора или в потоке, выходящем из реактора. Следовательно, вероятность выхода такого элемента из реактора не зависит от его пути или его истории (длительности пребывания в реакторе). Поэтому вероятность того, что он останется в аппарате дольше, чем в течение времени τ +Δτ, равна произведению вероятностей двух взаимно независимых событий:
1) время пребывания в реакторе больше чем τ;
2) время пребывания в реакторе больше чем Δτ.
Вероятность первого события равна [1 - F(τ)] вероятность второго [1 - F(Δτ)]. Тогда
|
|
(12.5)
По определению, F(Δτ) – это объемная доля потока, находящаяся в реакторе в течение времени, меньшего чем Δτ.
С другой стороны, за время Δτ из реактора выйдет реакционная смесь объемом v Δτ. Вероятность выхода из аппарата одинакова для всех элементов объема реактора идеального смешения. Поэтому
где – среднее время пребывания в реакторе.
Подставляя F(Δτ) в уравнение (12.5) при Δτ, стремящемся к бесконечно малому приращению d τ, ΔF(τ) → dF(τ) получим дифференциальное уравнение
(12.6)
Найдем его частное решение при начальном условии
F(0) = 0 (12.7)
Уравнение (12.6) – дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Представим его в следующем виде:
(12.8)
После интегрирования получим
(12.9)
Путем несложных преобразований уравнения (12.9) можно привести к виду
В соответствии с начальным условием (12.7) постоянная интегрирования равна единице (M = 1). Окончательно имеем
(12.10)
Плотность распределения времени пребывания f (τ) может быть получена дифференцированием уравнения (12.10):
(12.11)
Графики функций F(τ) и f (τ) приведены на рис. 12.5.
Рис. 12.5. Интегральная (а) и дифференциальная (б) функции распределения
времени пребывания в проточном реакторе идеального смешения
Реактор идеального вытеснения.
При плоском профиле линейных скоростей все частицы должны находиться и реакторе строго одинаковое время, равное среднему времени пребывания . Следовательно, для всех функция F(τ) = 0 и для всех функция F(τ) = 1.
Таким образом, интегральная функция распределения F(τ) для реактора идеального вытеснения – это разрывная функция, имеющая только два значения; 0 и 1 (рис. 12.6, а).
|
|
Рис. 12.6. Интегральная (а) и дифференциальиая (б)функции распределения
времени пребывания в проточном реакторе идеального вытеснения
Для получения дифференциальной функции распределения нужно продифференцировать F(τ). Производная в точке разрыва (скачка) функции является особой функцией, называемой дельта- функцией Дирака , которую изучают в специальных разделах математики (рис. 12.6, б). Таким образом, используя дельта функцию можно записать
δ -функция обладает особыми свойствами. Функция равна нулю при всех значениях и . При функция = δ (0) = ∞.
δ -функция Дирака относится к классу обобщенных функций, изучаемых н специальных разделах математики.
Кроме того, функция должна удовлетворять условию
(12.12)
Так как отрицательные значения τ не имеют физического смысла, то нижний предел интегрирования в уравнении (12.12), следует заменить на τ = 0. Тогда полученное уравнение
совпадает с одним из свойств дифференциальной функции распределения [см. уравнение (12.1)].
Можно представить график функции, похожей на (рис. 12.7). Чем более узкой будет полоска между левой и правой ветвями, тем выше должна быть эта полоска, чтобы ее площадь (т. е. интеграл) сохраняла заданное значение, равное 1. Такой вид, в частности, будет иметь дифференциальная функция распределения времени пребывания для реального трубчатого реактора, гидродинамический режим в котором приближается к идеальному вытеснению.
Рис. 12.7. Функция, приближающаяся по свойствам к δ -функции
Конечно, δ -функция является определенной идеализацией, как, впрочем, идеализацией является и режим полного вытеснения, для описания которого она может быть применена.