Пример 1. В параллелепипеде АВСD даны координаты вершин А, В, С, . , , , .Найти: 1) координаты вершин D; 2) площадь грани АВСD; 3) объем параллелепипеда; 4) уравнение плоскости ; 5) уравнение ребра (канонические и общие); 6) угол между диагональю и плоскостью ; 7) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины D на грань ; 8) координаты точки пересечения высоты Н D’ c гранью ;
Решение. 1. Пусть .Воспользовавшись равенством векторов где , . Получим . Координаты точки . Ответ: .
2. Известно, что . Находим: , , .
.
Ответ: (кв.ед).
3. Поскольку , .
Находим: ,
. Ответ: (куб.ед.).
4. Используя формулу (уравнение плоскости по трем точкам), составляем уравнение плоскости ABCD:
,
.
Ответ: .
5. Учитывая уравнение прямой, проходящей через две точки: , уравнение прямой можно записать в виде (каноническое уравнение ), а общее уравнение ребра имеет вид:
Ответ: – каноническое уравнение ребра , – общее уравнение ребра .
6. Из равенства найдем координаты точки , т.е. . Тогда , . По формуле
,
.
Ответ: .
7. Из условия перпендикулярности прямой и плоскости АВСD следует, что в качестве направляющего вектора можно взять нормальный вектор плоскости АВСD. Тогда уравнение прямой с учетом уравнений (каноническое уравнение прямой) запишется в виде , где координаты точки находим: из равенства векторов , , т.е. . Длину высоты вычисляем как расстояние от точки до плоскости АВСD по формуле:
.
Ответ: .
8. Запишем параметрическое уравнение прямой , перпендикулярной к данной плоскости АВСD, (уравнение плоскости АBCD). – параметрическое уравнение прямой . Решив их совместно с уравнением данной плоскости, найдем параметр t: т.е. ,
, , .
Следовательно, координаты точки Н пересечения прямой с плоскостью ABCD: , , .
Итак .
Ответ. .