Используя введенные операции над векторами, запишем систему линейных уравнений:
(1)
в векторной форме. Обозначим столбцы коэффициентов при неизвестных
, ,…, ; .
Тогда систему (1) можно представить в виде:
(2)
Уравнение (2) называется векторной формой системы линейных уравнений (1).
Последовательность чисел называют решением системы (2), если – верное векторное равенство.
Пусть n -мерный вектор () является решением системы (1). Тогда ясно, что для разложения вектора по системе достаточно найти решение системы линейных уравнений (2).
Пример. Дана система векторов и вектор
; ; ; ; .
Пример. Выяснить разлагается ли вектор по системе векторов .
Для этого необходимо решить систему уравнений
.
Имеем:
Получили систему уравнений:
,
которая эквивалентна исходной (т.е. имеет то же множество решений). Выразим главные неизвестные и через свободные . . Получим общее решение:
.
Достаточно положить свободным неизвестным и произвольные значения и получить разложение вектора по системе векторов .
|
|
Пример. , тогда , .
Следовательно:
.
Если же , тогда ,
и .