Граничные условия для электрического и магнитного полей определяют поведение нормальных и тангенциальных составляющих напряженностей и индукций электрического и магнитного полей на границе раздела двух сред с различными характеристиками. В простейшем случае эти среды будем считать изотропными, т.е. диэлектрические и магнитные проницаемости будут определены как скалярные величины
; .
Для определения поведения нормальных к поверхности составляющих путем интегрирования уравнений Максвелла III и IV выберем замкнутую поверхность в виде бесконечно малого цилиндра высотой h и с площадью основания D S, предполагая в дальнейшем устремление каждого из этих параметров к нулю (рис. 4).
Рисунок 4 – замкнутая поверхность в виде бесконечно малого цилиндра
Интегрируя уравнение Максвелла III
по объему и применяя теорему Остроградского-Гаусса, получим
.
Вычисляя потоки через «дно», «крышку» и «боковую поверхность», получим
Устремим высоту цилиндра к нулю:
B 1 n = B 2 n (1.13)
|
|
– первое граничное уравнение.
Используя , имеем:
. (1.14)
Интегрируя уравнение IV Максвелла
по объему и применяя теорему Остроградского-Гаусса, получим . В итоге, как и в предыдущем случае, получаем
D 2 n D S – D 1 n D S = 4psD S Þ D 2 n – D 1 n = 4ps. (1.15)
– скачок на заряженной поверхности, вследствие наличия поверхностной плотности электрических зарядов . С учетом , имеем:
e2 E 2 n – e1 E 1 n = 4ps (1.16)
Если поверхностных зарядов нет, то нормальные составляющие индукции электрического поля непрерывны, а – напряженности изменяются по закону
(1.17)
Для определения поведения тангенциальных составляющих поле выберем замкнутый контур, представленный на рис. 4.
Рисунок 5 – бесконечно малый контур
Интегрируя уравнение II Максвелла
по поверхности, натянутой на контур, и применяя к левой части теорему Стокса, получим
.
Вычисляя по отдельности циркуляции вдоль каждой из сторон контура и устремляя h ®0, получим при
. (1.17)
Интегрируя уравнение I Максвелла
по поверхности, натянутой на контур, и применяя к левой части теорему Стокса, получим
, (1.18)
где i – линейная плотность поверхностных токов.
Если отсутствуют поверхностные токи i = 0, то