Свойства функций непрерывных в точке

1)Если f(x), g(x) – непрерывны в точке x₀, то f(x) ± g(x); f(x)• g(x); f(x)/g(x) (g(x) ≠ 0) – также непрерывны в точке x_0.

Докажем, что F(x) = f(x)•g(x) непрерывна в точке x₀

Дано: f(x) и g(x) – непрерывны в x₀ Û lim f(x) = f(x₀); lim g(x) = g(x₀)

^{X ® Xo X ® Xo}

lim (f(x)•g(x)) = limf(x)•lim g(x) (по свойству предела функции) = f(x₀)•g(x₀) (по

^{X ® Xo X ® Xo X ® Xo}

определению непрерывности) ® F(x) = f(x)•g(x) непрерывна в x₀.

2) f(x) – непрерывна в точке x₀, существует такая окрестность точки

f(x₀) > 0 x₀, во всех точках которой f(x) > 0.

15. Основные элементарные функции:

1. Степенные функции: y = x^a,

где а – любое постоянное число. Областью определения считается промежуток x > 0, но если, например, а–натуральное число, функция определена для всех х.

2. Показательная функция: y = a^x,

где a > 0, a ≠1. Область определения – множество всех действительных чисел.

3. Логарифмическая функция: y = log_ax,

где a > 0, a ≠1. Область определения: x > 0.

4. Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.

Область определения для sin x и cos x – множество действительных чисел.

5. Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctgx.

Область определения x Î [-1; 1] для arcsin x и arccos x, множество действительных чисел для arctg x.

Действия над функциями, которые считаются допустимыми:

1. все арифметические действия (f + g, f – g, f•g, f/g);

2. построение сложной функции.

Элементарными функциями называются такие, которые получаются из основных с помощью допустимых действий.