Теорема о непрерывности обратной функции

Пусть y = f(x) - функция с областью определения X (D(f) = X) и областью значений Y (E(f) = Y). При этом разным значениям х отвечают разные значения y. Тогда для каждого значения y Î Y существует только одно x Î Х, такое, что f(x) = y. Если мы сопоставим каждому y Î Y именно такое x, то получим отображение множества Y в множество X. Это отображение называется обратным к данному отображению f и обозначается f ^-1, т. е. обратная функция для y = f(x) есть x = f ^–1(y).

Пусть y = f(x) (x Î D (f)) непрерывна и возрастает на отрезке [a; b], тогда обратная функция x = f^—1(y) также непрерывна и возрастает на [f(a); f(b)].

(аналогично для непрерывной убывающей функции).

Односторонняя непрерывность. Точки разрыва, их 7классификация.

Функция, определённая в некоторой окрестности точки х₀, называется непрерывной в этой точке, если предел функции в точке х₀ существует и равен значению в этой точке.

Функция f(x), определённая на отрезке [a,b], называется непрерывной в точке а справа, если lim f(x)=f(a) (аналогично слева)

^x®a+0

Функция y=f(x) непрерывна на Х, если эта функция непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Если lim f(x) не равен lim f(x₀)

^X®Xo

,то х₀ - точка разрыва непрерывности этой функции.

Классификация точек разрыва.

1. х₀ – точка разрыва первого рода, если одосторонние пределы существуют, но они не равны между собой.

1.1 Точка устранимого разрыва, если односторонние пределы равны между собой, но их значение не совпадает со значением функции в этой точке.

Lim f(x)=lim f(x) не равен f(x₀)

^{X®Xo-0 X®Xo+0}

1.2 Точка разрыва с «конечным скачком». Правый и левый пределы не совпадают.

1.3 Точка разрыва с «бесконечным скачком». Хотя бы один односторонних пределов бесконечен.

2. х₀ - точка разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует.

Производная функции и ее геометрический смысл.

Приращением функции y =f(x) в точке x₀ называется разность

Δу=f(x)-f(x₀)= f(x+Δx)-f(x0)

Производной от функции y=f(x) в точке х0 наз. Предел отношения Δу/Δх, когда Δх→0 (при усл., что этот предел существует)

Написать обозначение производной.