Для установления характера операторных передаточных функций линейных пассивных электрических цепей с сосредоточенными
параметрами рассмотрим схему электрической цепи, приведенную на рис. 18.11.
Выбрав независимые контуры таким образом, чтобы ветвь с источником э,д. с. е входила только в первый контур, а ветвь
с током i2 — только во второй контур, получим систему контурных уравнений в операторной форме:
где
Из полученной системы уравнений найдем
где Δz (р) —определитель системы контурных уравнений цепи (18.28);
Δ12 (p) —его алгебраическое дополнение, полученное путем вычеркивания в Δz(р) первой строки и второго столбца и умножения на (—1)1+2.
Из выражения (18.30) получим
Из системы уравнений (18.28) можно получить и все остальные виды операторных передаточных функций электрической цепи.
Все эти функции, так же как Y 21 (p), будут содержать отношение определителя системы Δz(p) и его алгебраических дополнений первого порядка Δ11(p) и Δ12(p), элементами которых являются простые рациональные функции (18.29).
При раскрытии определителя Δz(p) и его алгебраических дополнений над их элементами производят толькй операции умножения, сложения и вычитания, в результате которых из рациональных функций получаются также только рациональные функции.
Поэтому операторные передаточные и входные функции электрических цепей являются рациональными функциями оператора р с вещественными коэффициентами, т. е. представляют собой отношение двух полиномов W(p) и V(p), все коэффициенты которых вещественны:
Представив полиномы числителя и знаменателя К(р) в виде произведения простых множителей, получим
где βk — корни числителя К(р);
аk — корни знаменателя К(р).
При передаточная функция становится равной нулю, а при р = аk она становится равной, бесконечности. Поэтому называют нулями передаточной функции, а аk — ее полюсами. Следует отметить, что если степень полинома числителя передаточной функции W (p) меньше степени полинома ее знаменателя V(p), то нули передаточной функции К(р) будут и при ρ= . Причем кратность этих нулей будет равна разности степеней полиномов знаменателя и числителя передаточной функции К(р).
Нули и полюсы передаточной функции могут быть вещественными или попарно комплексно-сопряженными, поскольку их произведение должно дать вещественные коэффициенты bk и ak полиномов числителя и знаменателя К(р). Из выражений ( 18.25) и (18.32) следует, что
На основании теоремы о дифференцировании оригинала при нулевых начальных условиях, при которых и определена К(р), от уравнения для изображений (18.34) перейдем к дифференциальному уравнению для оригиналов
где x= x(t) — выходная величина (реакция цепи);
f=ƒ(t) —входная величина (воздействие на входе цепи). Из приведенных выражений видно, что если приравнять нулю знаменатель V(p) передаточной функции, то получим характеристическое уравнение электрической цепи
Это обстоятельство налагает дополнительные ограничения на вид полинома знаменателя передаточной функции электрической цепи, т. е. на вид полинома V(p), который обычно называют характеристическим полиномом электрической цепи.
Так как свободные колебания в пассивных электрических цепях носят затухающий характер, то нули характеристического полинома (полюсы передаточной функции) таких цепей должны иметь отрицательную вещественную часть, т. е. должны располагаться в левой полуплоскости (рис. 18.12). Такой полином называют полиномом Гурвица.
В идеализированных пассивных цепях, составленных лишь из элементов L и С, свободные колебания не убывают по амплитуде, поскольку здесь первоначально запасенная энергия не расходуется на тепловые потери. Поэтому в цепях без потерь корни их харак-
теристйческих уравнений (полюсы передаточных функций) представляют собой пары мнимых сопряженных чисел ƒωk и - ƒωk, которым соответствуют незатухающие гармонические колебания. Однако чисто мнимые корни ƒωk и -ƒωk. должны быть простыми. Действительно, если бы такие корни имели каждый кратность m >1, то соответствующее им решение имело бы вид [9]
.
При m >1 колебания в цепи с течением времени возрастали бы по амплитуде, чего в пассивной цепи быть не может.
Пассивных электрических цепей, в которых свободные колебания не убывают по амплитуде, на практике также не существует.
Однако в электрических цепях с очень малыми потерями амплитуды свободных колебаний убывают весьма медленно и приведенная выше идеализация об отсутствии потерь в цепи является очень полезной при анализе электрических цепей и особенно при их синтезе.
Если известны нули и полюсы передаточной функции цепи, то можно, составив выражение вида (18.33), найти саму функцию, за исключением постоянного вещественного множителя bт/ап, т. е. нули и полюсы передаточной функции определяют эту функцию с точностью до постоянного вещественного множителя, играющего роль масштабного коэффициента.
По расположению нулей и полюсов передаточной функции можно судить о свойствах электрической цепи. Если все полюсы расположены только на отрицательной вещественной полуоси, то переходной процесс в цепи носит апериодический характер. Если имеются сопряженные полюсы в левой полуплоскости, то переходный процесс носит характер затухающих колебаний. Причем чем ближе расположены полюсы к мнимой оси, тем медленнее затухают эти колебания, т. е. тем больше длительность переходного процесса.
По заданной передаточной функции можно создать цепь с заданными свойствами, т. е. произвести синтез электрической цепи. Вследствие того что одной и той же передаточной функции могут соответствовать несколько различных схем, задача синтеза носит неоднозначный характер.
Таким образом, операторные передаточные функции линейных пассивных электрических цепей с сосредоточенными параметрами обладают следующими свойствами:
1.Они являются рациональными функциями оператора р с вещественными коэффициентами (18.32).
2.Пули и полюсы этих функций могут быть вещественными или попарно комплексно-сопряженными,
3.Полюсы этих функций могут располагаться только в левой полуплоскости, т. е. полиномы знаменателей этих функций являются полиномами Гурвица. Полюсы передаточных функций цепей, состоящих из элементов L и С, располагаются на мнимой осп и являются простыми.
4.Нули этих функций могут располагаться как в левой, так и в правой полуплоскости. Дополнительные ограничения на расположение нулей и полюсов налагаются как видом схемы цепи, так и видом входящих в нее элементов.