T-критерий Стьюдента для независимых выборок

Метод позволяет проверить гипотезу о том, что средние значения двух ге­неральных совокупностей, из которых извлечены сравниваемые независимые выборки, отличаются друг от друга. Допущение независимости предполагает, что представители двух выборок не составляют пары коррелирующих значений признака. Это предположение нарушилось бы, если, например, 1-я выборка состояла из мужей, а 2-я — из их жен, и два ряда значений измеренного при­знака могли бы коррелировать.

Проверяемая статистическая гипотеза Н₀: М₁ = М₂ (средние значения в выборках 1 и 2 равны).При ее отклонении при­нимается альтернативная гипотеза о том, что М₁ больше (меньше) М₂.

Исходные предположения для статистической проверки:

□ одна выборка извлекается из одной генеральной совокупности, а другая выборка, независимая от первой, извлекается из другой генеральной со­вокупности;

□ распределение изучаемого признака и в той, и в другой выборке при­близительно соответствует нормальному;

□ дисперсии признака в двух выборках примерно одинаковы (гомогенны).

Структура исходных данных: изучаемый признак измерен у объектов (ис­пытуемых), каждый из которых принадлежит к одной из двух сравниваемых независимых выборок.

Ограничения: распределения признака и в той, и в другой выборке должно суще­ственно не отличаться от нормального; в случае разной численности сравнива­емых выборок их дисперсии статистически достоверно не различаются (про­веряется по критерию F-Фишера — при вычислениях «вручную», по критерию Ливена — при вычислениях на компьютере).

Альтернатива методу: непараметрический критерий U-Манна-Уитни — если распределение признака хотя бы в одной выборке существенно отлича­ется от нормального и (или) дисперсии различаются статистически достоверно.

Формулы для эмпирического значения критерия t-Стьюдента (2):

или

Первая формула применяется для приближенных расчетов, для близких по численности выборок, а вторая формула — для точных расчетов, когда выбор­ки заметно различаются по численности.

Пример расчета: Психолог измерял время сложной сенсомоторной реакции выбора (в миллисекундах) в контрольной и экспериментальной группах. В экспериментальную группу (X) входили 9 спортсменов высокой квалификации. Контрольной группой (Y) являлись 8 человек, активно не занимающихся спортом. Психолог проверяет гипотезу о том, что средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора у спортсменов выше, чем эта же величина у людей, не занимающихся спортом.

Результаты эксперимента представим в виде табл. 2, в которой произведем ряд необходимых расчетов:

Таблица 2

Средние арифметические составляют в экспериментальной группе 4734/9=526, в контрольной группе 5104/8 = 638.

Абсолютная разница средних выборок равна |526-638|=112 (верхняя часть формулы 2).

(для выборок N<30).

Верхняя часть этих формул посчитана в последних двух столбцах таблицы 2.

Подставляем значения в формулу для сигмы (стандартного отклонения):

σ_x = = 59,82; σ_y = = 50,95

Теперь подставляем все необходимые значения в точную формулу для расчета критерия (т.к. у нас не равные по численности выборки):

t_э = = = 4,128

Число степеней свободы df = 9 + 8 – 2 = 15.

По таблице критических значений (она была роздана студентам прошлый раз) для данного числа степеней свободы находим t_кр. Определяем, между какими значениями попало наше эмпирическое значение:

Таким образом, обнаруженные психологом различия между экспериментальной и контрольной группами значимы более чем на 0,001 уровне, или, иначе говоря, средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора в группе спортсменов существенно выше, чем в группе людей, активно не занимающихся спортом.