Теплопроводность через многослойную плоскую стенку

Стенки, состоящие из нескольких разнородных слоёв, называются многослойными. Именно такими являются, например стены жилых домов, в которых на основном кирпичном слое с одной стороны имеется внутренняя штукатурка, с другой – внешняя облицовка.

Обмуровка печей, котлов и других тепловых устройств также обычно состоит из нескольких слоев. Пусть стенка состоит из трех разнородных, но плотно прилегающих друг к другу слоев (рис.3.2). Толщина первого слоя равна δ₁, второго – δ₂ и третьего δ₃. Соответственно коэффициенты тепло­проводности слоев равны λ₁, λ₂ и λ₃. Кроме того, известны температуры наружных поверхностей стенки t₁ и t₄. Тепловой контакт между поверхностями предполагается идеальным, температуру в местах контакта мы обозначим через t₂ и t₃.

При стационарном режиме удельный тепловой поток q постоянен и для всех слоев одинаков. Поэтому на основании (3.4) можно написать:

(3.7)

Из этих уравнений легко определить изменение температуры в каждом слое:

(3.8)

Сумма изменений температуры в каждом слое составляет полный температурный напор. Складывая левые и правые части системы уравнений (3.8), получаем:

t₁ - t₄ = q (δ₁ /λ₁ + δ₂ /λ₂ + δ₃ /λ₃). (3.9)

Из соотношения (3.9) определяется значение удельного теплового потока

(3.10)

Рис. 3.2. Многослойная плоская стенка

По аналогии с изложенным можно сразу написать расчётную формулу для n -слойной стенки

(3.11)

Так как каждое слагаемое знаменателя в (3.10) предствляет собой термическое сопротивление слоя, то из уравнения следует, что общее термическое сопротивление многослойной стенки равно сумме частных сопротивлений [уравнение (3.11)].

Если значение теплового потока из (3.10) подставить в (3.8), то получим значения неизвестных температур t₂ и t₃:

(3.12)

Внутри каждого слоя температурная кривая изменяется по прямой, но для многослойной стенки в целом она представляет собой ломаную линию (см. рис.3.2).

Рис. 3.3. Графический способ определения промежуточных температур t₂ и t₃

Значения неизвестных температур t₂ и t₃ многослойной стенки можно определить также графически (рис.3.3) При построении графика по оси абсцисс в любом масштабе, но в порядке расположения слоев откладываются значения их термических сопротивлений δ₁/λ₁, δ₂/λ₂ и δ₃/λ₃ и восстанавливаются перпендикуляры. На крайних из них также в произвольном, но одинаковом масштабе откладываются значения наружных температур t₁ и t₄. Полученные точки А и С соединяются прямой. Точки пересечения этой прямой со средними перпендикулярами дают значения искомых температур t₂ и t₃. При таком построении

Δ АВС ~ Δ ADE. Следовательно,

и

Подставляя значения отрезков, получаем:

Аналогичным образом доказывается, что

MN = q (δ₁ /λ₁ + δ₂ /λ₂) = t₁-t₃.

3.3. Теплопроводность через однослойную цилиндрическую стенку

Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку (трубу) длиной l, м, с внутренним радиусом r₁ и внешним r₂. Коэффициент теплопроводности материала постоянен и равен λ. Внутренняя и внешняя поверхности поддерживаются при постоянных температурах t₁ и t₂, причем t₁>t₂ (рис.3.4), и температура изменяется только в радиальном направлении r.

Рис. 3.4. Однородная цилиндрическая стенка

Следовательно, температурное поле здесь будет одномерным, а изотермические поверхности цилиндрическими, имеющими с трубой общую ось. Выделим внутри стенки кольцевой слой радиусом r и толщиной dr, ограниченный изотермическими поверхностями. Согласно закону Фурье количество тепла, проходящего в единицу времени через этот слой, равно:

(3.13)

Разделив переменные, имеем:

(3.14)

После интегрирования уравнения (3.14) находим:

(3.15)

Подставляя значения переменных на границах стенки (при r = r₁

t= t₁ и при r = r₂ t= t₂) и исключая постоянную С, получаем следующую расчетную формулу:

(3.16)

Следовательно, количество тепла, переданное в час через стенку трубы, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности λ, длине l и температурному напору Δt = t₁ - t₂ и обратно пропорционально натуральному логарифму отношения внешнего диаметра трубы d₂ к внутреннему d₁. Формула (3-16) справедлива и для случая, когда t₁<t₂, т.е. ког­да тепловой поток направлен от наружной поверхности к внутренней.

Количество тепла, проходящее через стенку трубы, может быть отнесено либо к единице длины l, либо к единице внутренней F₁ или внешней F₂ поверхности трубы. При этом расчетные формулы соответственно принимают следующий вид:

(3.17)

(3.18)

(3.19)

Так как внутренняя и внешняя поверхности трубы по величине различны, то различными получаются и значения удельных тепловых потоков q₁ и q₂. Взаимная связь между ними определяется соотношением

q_l =πd₁q₁=πd₂q₂ или d₁ q₁=d₂q₂

Величина q_l, Вт/м², называется линейной плотностью теплового потока.

Уравнение температурной кривой внутри однородной цилиндрической стенки выводится из уравнения (3.15) Подставляя сюда значения Q и С, имеем:

(3.20)

Следовательно, в этом случае при постоянном значении λ температура изменяется по логарифмической кривой (см. рис.3.4).

Рис. 3.5. Многослойная цилиндрическая стенка

3.4. Теплопроводность через многослойную цилиндрическую стенку

Пусть цилиндрическая стенка состоит из трех разнородных слоев. Диаметры и коэффициенты теплопроводности отдельных слоев известны, их обозначения см. на рис.3.5. Кроме того,известны температуры внутренней и внешней поверхностей многослойной стенки t₁ и t₄.

В местах же соприкосновения слоев температуры неизвестны, обозначим их через t₂ и t₃. При стационарном тепловом режиме через все слои проходит одно и то же количество тепла. Поэтому на основании (3.17) можно написать:

(3.21)

Из этих уравнений определяется температурный перепад в каждом
слое

(3.22)

Сумма этих перепадов составляет полный температурный напор. Складывая отдельно левые и правые части системы (3.22) имеем:

(3.23)

из которого определяется значение теплового потока q _l

(3.24)

По аналогии с этим сразу можно написать расчетную формулу для n -слойной стенки

(3.25)

Значения неизвестных температур t₂ и t₃ поверхностей соприкосновения слоев определяются из (3.22):

(3.26)

Согласно (3.20) внутри каждого слоя температура изменяется по логарифмическому закону, для многослойной стенки в целом температурная кривая представляет собой ломаную кривую (см. рис. 3.5).