Автоматические системы регулирования состоят из элементов различной сложности. Многие из них могут быть разделены на более простые звенья. При этом звенья должны обладать детектирующими свойствами и их динамические свойства должны описываться простейшими алгебраическими и дифференциальными уравнениями. Звенья, обладающие такими свойствами, принято называть типовыми. Они имеют определенные названия в соответствии с их функциональными свойствами. Любой элемент системы может быть представлен в виде комбинации типовых звеньев. Они легко технически реализуются, что позволяет создавать устройства с заданными свойствами.
Свойства усилительного (безынерционного статического) звена описываются алгебраическим уравнением
где k коэффициент усиления (пропорциональности, передачи) звена. Передаточная и переходная функции звена:
Пропорциональное звено изменяет входной сигнал по модулю в k раз.
Примеры усилительного звена: рычажные передачи, пружины, мембраны, сильфоны, усилители и т. д.
|
|
Свойства интегрирующего звена описываются уравнением
где k и - коэффициент передачи, определяющий скорость интегрирования; k и = tgoc(рис. 8.16).
Передаточная и переходная функции звена:
Выходная величина изменяется с постоянной скоростью пропорционально величине коэффициента k и.
Примеры интегрирующего звена: сервоприводы гидравлические; сосуд, жидкость из которого откачивается насосом; интегральный регулятор и т. д.
Свойства апериодического (инерционного) звена первого порядка описываются обыкновенным дифференциальным уравнением
где T - постоянная времени, имеющая размерность времени.
Передаточная функция звена
Переходную функцию звена можно получить, воспользовавшись таблицей соответствия (табл. 8.1, пятая строка):
Подставив в выражение (8.56) значения параметров, можно рассчитать ординаты переходного процесса для дискретных значений времени и построить график (рис. 8.17). Постоянная времени T определяет угол наклона касательной, проведенной из начала координат, а коэффициент пропорциональности k определяет установившееся значение выходного параметра при
Уравнением апериодического звена первого порядка описываются элементы, имеющие одну ёмкость для накопления массы или энергии. К ним относятся ранее рассмотренные сосуд со свободным сливом и теплообменник смешения.
Свойства идеального дифференцирующего звена описываются уравнением
где k д - коэффициент пропорциональности, называемый временем
дифференцирования.
Передаточная и переходная функции звена
Из выражения (8.57) следует, что выходная величина идеального дифференцирующего звена пропорциональна скорости изменения входного сигнала. Если на вход такого звена подать единичный ступенчатый сигнал 1(т), то за бесконечно малый промежуток времени выходная величина h(x) = kд ◦ 1(τ) должна достигнуть бесконечности и
|
|
вернуться к нулевому значению (8.59). Физически реализовать такое звено не представляется возможным, так как порядок правой части уравнения m = 1 больше порядка левой части n = 0. Поэтому для выполнения операций дифференцирования сигналов используют реальные дифференцирующие звенья, свойства которых описываются уравнением
Передаточная функция звена имеет вид
Для получения выражения переходной функции запишем решение в операторной форме и применим к нему операцию обратного преобра-зования Лапласа:
Выходной сигнал (рис. 8.18) в момент τ = 0 увеличивается в k раз и плавно уменьшается до нуля. Для приближения свойств реального дифференцирующего звена к свойствам идеального звена необходимо одновременно увеличивать коэффициент передачи k и уменьшать постоянную времени T так, чтобы их произведение kT = k д оставалось постоянным.
Реальные дифференцирующие звенья, выполненные из элементов аналоговой и цифровой техники, используются для выполнения операции дифференцирования медленно меняющихся процессов и создания корректирующих устройств в АСР.
Свойства апериодических и колебательных звеньев второго порядка описываются обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка
где T 1 и T 2 - постоянные времени.
Значения коэффициентов дифференциального уравнения (8.63) и корней его характеристического уравнения определяют свойства и характер переходного процесса.
1. Если выполняется условие , то корни характеристического уравнения будут простые: p 1 = -01; p2 = -а2
Переходная функция имеет апериодический характер, поэтому звено называется апериодическим второго порядка. Оно не относится к типовым звеньям, так как структурно, в соответствии с переда-точной функцией, его можно представить в виде последовательного со-единения двух апериодических звеньев:
2. Если выполняется условие , то корни характеристического уравнения будут комплексными сопряженными: p1=-а + i и p2 = -а - i .
В связи с тем, что в выражении (8.67) содержатся периодические функции синус и косинус, то переходный процесс становится колебательным (рис. 8.19). Скорость затухания колебаний зависит от модуля вещественной составляющей а корней характеристического уравнения (8.64), находящейся в показателе экспоненты.
Колебательность переходного процесса обычно оценивают по степени затухания:
Колебательность переходного процесса можно оценить и по корневому показателю колебательности m, равному модулю отношения вещественной части корней а к мнимой части :
Его можно выразить через коэффициенты дифференциального уравнения (8.63), подставив соответствующие выражения а и :
Учитывая, что получим выражение, связывающее степень затухания с корневым показателем колебательности,
Приведем значения m и T 1 / T 2, соответствующие наиболее часто употребляемым значениям степени затухания:
С увеличением степени затухания процесса растет корневой показатель колебательности m и отношение постоянных времени T 1 /T2.
3. Если выполняется условие то характеристическое уравнение будет иметь кратные вещественные корни p1 = p2=-а.
Этому условию будет соответствовать переходная характеристика
Переходный процесс будет апериодический (см. рис. 8.13).
4. Если T 1 = 0, то динамические свойства звена будут описываться уравнением
Характеристическое уравнение T 22 p2 + 1 = 0 будет иметь кратные
1 чисто мнимые корни . Этому условию будет соответствовать переходная характеристика
|
|
Переходная характеристика звена со-держит незатухающие колебания (рис. 8.20). Такое звено называется консервативным.
В качестве примера консервативного звена можно назвать центробежный маят-ник, используемый в качестве регулятора частоты вращения вала паровой машины, без демпфера.
Свойства звена «чистого запаздывания» описываются уравнением
Передаточная функция –
Переходная функция –
Звено «чистого запаздывания» не деформирует входной сигнал, а только задерживает его появление на выходе на величину времени запаздывания τ0.
Запаздывание в передаче сигнала возникает в связи с ограниченной скоростью прохождения сигнала через физические элементы.