Для случая, когда число переменных n не меньше двух (n≥2) вводится понятие условного экстремума. Экстремум функции многих переменных, достигаемый по какой-то отдельной переменной xj, называется условным экстремумом данной функции. Достигается этот условный экстремум в точке , в которой . Точка Х0=(, , , …), в которой все частные производные функции Z=f(X) равны 0, называется стационарной точкой.
Необходимое условие экстремума. Если в точке Х* функция Z=f(X) имеет экстремум, то все частные производные функции в этой точке равны нулю:
f′xi(X*) = 0, i=1,2, …, n.
Следовательно, точки экстремума функции Z=f(X) удовлетворяют системе уравнений:
f′x1 (х1, х2, …, хn)= 0,
f′x2 (х1, х2, …, хn)= 0,
...... (7.5)
f′xn (х1, х2, …, хn)= 0,
Таким образом, любая точка экстремума ФМП есть точка стационарная, то есть, Х*=Х0. Обратное верно не всегда.
Как и в случае одной переменной, необходимое условие не является достаточным для того, чтобы стационарная точка была точкой экстремума: это может быть точкой изгиба функции. Для получения условий достаточности экстремума ФМП следует определить в стационарной точке знак дифференциала второго порядка. Если от частной производной найти частную производную по переменной xj, то получим частную производную второго порядка по переменным xi, xj, которая обозначается . Дифференциал второго порядка обозначается d2f(х1, х2, …, хn)=d2f(X) и равен сумме произведений частных производных второго порядка по всем переменным (аргументам) на соответствующие приращения этих переменных, то есть
|
|
(7.6)
Достаточные условия экстремума:
а) в стационарной точке Хо функция Z=f(X) имеет максимум, если d2f(X0)<0, и минимум, если d2f(Xо)>0, при любых Δхi и Δхj, не обращающихся в нуль одновременно (в этих случаях Хо = Х*);
б) если d2f(Xо) может принимать в зависимости от Δхi и Δхj и положительные, и отрицательные значения, то в точке Хо функция Z=f(X) экстремума не имеет (может иметь место изгиб функции);
в) если d2f(Xо) может обращаться в нуль не только при нулевых приращениях Δхi и Δхj, то вопрос об экстремуме остается открытым.
Для функции двух переменных Z=f(x1,x2) достаточные условия еще не очень сложны. Существуют четыре частные производные второго порядка: . Из них две смешанные производные , если непрерывны, то равны.
Найдем значения частных производных второго порядка в стационарной точке и обозначим:
(можно убедиться, что а12=а21).
Обозначим через Δ определитель, составленный из aij для i, j = 1, 2:
(7.7)
Тогда достаточные условия экстремума для функции двух переменных примут вид:
а) если Δ>0 и а11<0 (a22<0), то в точке Х0 функция имеет максимум; если Δ>0 и а11>0 (a22>0), то в точке Х0 – минимум (в этих случаях Х0= Х*);
|
|
б) если Δ>0, то функция в этой точке экстремума не имеет;
в) если Δ=0, то вопрос об экстремуме остается открытым.
Схема определения экстремума функции n переменных совпадает с правилами определения локального экстремума функции одной переменной.
...........
Как правило, в практических задачах необходимо определить наибольшее и наименьшее значения функции (глобальный экстремум) в некоторой области.
Говорят, что функция Z=f(X) в точке Х0 заданной области D имеет глобальный максимум (наибольшее значение) или глобальный минимум (наименьшее значение), если неравенство f(X)≤ f(X0) или f(X)≥ f(X0), соответственно, выполняется для любой точки XЄD.
Теорема Вейерштрасса (Weierstras, Карл Теодор Вильгельм-нем. математик, 1815-1897). Если область D замкнута и ограничена, то дифференцируемая функция Z=f(X) достигает в этой области своих наибольшего и наименьшего значений или в стационарной точке, или в граничной точке области.
Следовательно, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значения функции Z=f(X) в области D, нужно:
1) найти все стационарные точки внутри области D и вычислить значения функции в них;
2) исследовать функцию на экстремум на границе области D и вычислить значения функции на границах области D;
3) сравнить значения функции, полученные в п.1 и 2: наибольшее (наименьшее) из этих чисел и будет наибольшим (наименьшим) значением функции во всей области.
Граница области D аналитически может быть задана системой уравнений (условий) относительно переменных х1, х2, …, xn. Поэтому, исследуя экстремальные свойства функции на границах области D, необходимо решить задачу определения условного экстремума.