Критерий устойчивости Найквиста-Михайлова и запасы устойчивости по амплитуде и по фазе для систем с единичной отрицательной обратной связью

 

Рассматривается устойчивость замкнутой системы управления с обратной связью. В качестве стандартного формата рассматривается передаточная функция с положительным коэффициентом усиления и единичной отрицательной обратной связью.

Рис. Схемы систем с единичной и неединичной отрицательной обратной связью

Рассмотрим передаточную функцию прямой цепи для устойчивой прямой системы:

,

 

Критическая точка:

Допускаем,что замкнутая система с единичной отрицательной обратной связью устойчива. В этом случае S_z^*имеет вещественную часть меньше нуля.

Уголповорота относительно критической точки:

Критерий Найквиста-Михайлова для систем устойчивых в разномкнутом состоянии:

Рис. Годограф Найквиста для устойчивой системы

Если система имеет n устойчивых корней с отрицательной вещественной частью, то будет устойчива и замкнутая система с единичной отрицательной обратной связьюесли годограф передаточной функции разомкнутой системы не охватывает критическую точку (-1;j₀)

Годограф системы, неустойчивой в замкнутом состоянии:

Рис. Годограф Найквиста для устойчивой системы в разомкнутом состоянии и неустойчивой в замкнутом состоянии

Достоинство данного критерия состоит в том, что об устойчивости замкнутой системы можно судить по годографу разомкнутой системы.

Расположение годографа разомкнутой системы может измениться при отказах автоматики, что приведет к изменению годографа по амплитуде и по фазе.

Запасы устойчивости по амплитуде и по фазе:

По амплитуде показывают на какую величину может увеличиться годограф разомкнутой системы до пересечения критической точки (-1;j₀)

Этот запас равен расстоянию от критической точки разомкнутой системы до годографа вдоль вещественной оси Р

Для системы с резервированием желаемое значение запаса =0,5

Запас по фазе равен угловому расстоянию от P_кр до годографа разомкнутой системы по окружности единичного радиуса

Желаемое значение при запаздывании равном постоянной времени первой формы составляет 60

Пунктирной линией (- - - - -) обозначена единичная окружность

Рис. Годограф с неопределенным запасом устойчивости по фазе системы с амплитудной характеристикой

Рис. Определение запасов устойчивости по фазе системы с амплитудной характеристикой

 

Запасы устойчивости по амплитуде и по фазе в системеMATLABопределяются по логарифмическим амплитудно-фазовым характеристикам.

margin(ω)

Запас по амплитуде = 7дБ(ω₁)

Запас по фазе = 47 (ω_β = …)

Рис. Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе по логарифмическим амплитудно-фазовым характеристикам

Запас устойчивости по амплитуде определяется в точке пересечения фазовой характеристикой уровня - 180

Логарифмическая амплитудная характеристика для устойчивости замкнутой системы должна проходить ниже оси частот и желаемое значение запаса устойчивости по амплитуде состояния 6 Децибел для системы с резервированием и 8-12дБ для систем с трех и четырехкратным резервированием.

Запас устойчивости по фазе определяется вточке пересечения оси частот логарифмической амплитудной характеристикой разомкнутой системы уровня 0.

Запас устойчивости по фазе равен разности частот и уровня 180 . Для резервированной системы желаемое значение составляет 60 .

4.3 Выбор коэффициентов усиления К в прямой и обратной цепи по заданному запасу устойчивости.

 

Структура системы управления с коэффициентом усиления в прямой цепи:

 

Структура системы управления с коэффициентом усиления в обратной цепи:

Рис. Схемы систем управления с коэффициентом усиления в прямой и обратной цепи

Рассмотрим замкнутую систему уравнений с неизвестными коэффициентами усиления в прямой/обратной цепи. Требуется найти К по желаемому запасу устойчивости, который может составлять 6;8 или 12дБ

MATLAB: W= tf(…)

margin(W)

A_z = A

φ_z = Б

 

 

Рис. Определение запасов устойчивости по логарифмической амплитудно-фазовой характеристике

Увеличение запаса устойчивости приводит к опусканию вниз логарифмической амплитудной характеристики, и полоса пропускания системы опускается.

При уменьшении запаса по амплитуде A_z логарифмическая амплитудная характеристика поднимается вверх, полоса пропускания поднимается, что позволяет эксплуатировать систему в большом диапазоне частот ω.

Рис. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы La и логарифмические амплитудные частотные характеристики замкнутой системы отклонению L_yи по ошибке L_ε

 

Требуемая

Рекомендуется вычислить значение передаточной функции после коррекции и с использованием программы marginпроверить запасы A_z и φ_z.

Ошибки вычисления могут привести к ошибкам выбора коэффициента усиления, которые не создадут требуемого запаса устойчивости по амплитуде и по фазе.

Фазовая характеристика не учитывается при выборе К, поэтому следует проверить наличие запаса устойчивости по фазе φ_z 40 .