Свойства смежных классов

Определение группы

Пусть  – произвольное непустое множество,  - множество алгебраических операций на множестве .

Определение. Множество с заданными на нем алгебраическими операциями называется алгеброй.

Алгебру будем обозначать . Множество  называется основным множеством алгебры .

Например, алгебра  есть множество натуральных чисел с алгебраическими операциями сложения и умножения; алгебра  есть множество целых чисел с алгебраической операцией сложения.

Рассмотрим алгебру , где * бинарная алгебраическая операция.

Определение. Алгебра  называется группой, если ее бинарная операция * удовлетворяет условиям:

1) операция * ассоциативна, то есть для любых элементов ;

2) в  существует нейтральный элемент относительно операции *, то есть такой элемент , что для любого элемента  из ;

3) для любого элемента  из  в  содержится симметричный элемент, то есть такой элемент , что .

Группа  называется коммутативной или абелевой, если бинарная операция * коммутативна, то есть для любых  из .

Определение. Порядком группы   называется число элементов основного множества   группы, если  конечно. Если  бесконечное множество, то группу   называют группой бесконечного порядка.

Обычно используют мультипликативную или аддитивную форму записи алгебраической операции группы.

При мультипликативной записи операцию * называют умножением и пишут , называя элемент  произведением элементов   и . Нейтральный элемент относительно умножения обозначают  или  и называют единичным элементом или единицей группы. Элемент, симметричный , обозначают  и называют обратным элементу .

При аддитивной записи бинарную операцию * называют сложением и пишут , называя элемент   суммойэлементов  и . Нейтральный элемент относительно сложения обозначают 0 и называют нулевым элементом или нулем группы. Элемент, симметричный элементу , обозначают  и называют противоположным элементу .

В дальнейшем при рассмотрении теоретических вопросов используется мультипликативная форма записи операции группы.

Примеры

1.1. Алгебра  – абелева группа. Действительно:

1) ассоциативный закон сложения выполняется в ;

2) нулевым элементом является число , так как  для любого ;

3) для любого существует противоположный элемент .

Кроме того, выполняется коммутативный закон сложения.

Группа  называется аддитивной группой целых чисел.

1.2. Аналогично , ,   – абелевы группы.

1.3. Алгебра  группой не является, так как для числа   обратный элемент не существует.

Однако если из множества   исключитьчисло , полученное множество обозначим , то алгебра  – абелева группа.

Действительно:

1) ассоциативный закон умножения в  выполняется;

2) единичным элементом является число 1, так как для любого ;

3) для любого  существует обратный элемент .

Кроме того, в  выполняется коммутативный закон умножения. Группа  называется мультипликативной группой рациональных чисел.

1.4. Аналогично, ,  – абелевы группы.

1.5. Пусть  множество целых чисел, кратных данному натуральному числу . .

Докажем, что сложение – алгебраическая операция на множестве , то есть . Действительно: , , где , тогда , где , значит   и сложение – алгебраическая операция на множестве .

Рассмотрим алгебру :

1) на множестве  выполняется ассоциативный закон сложения, так как он выполняется на множестве , а ;

2) , так как , ;

3) . Действительно: , , , где , значит .

Алгебра является группой, причем абелевой.

1.6. Рассмотрим множество  чисел вида , где  и  целые числа. .

Докажем, что умножение – алгебраическая операция в , то есть .

Действительно: , , ,

, причем , , значит  и умножение - алгебраическая операция в .

Рассмотрим алгебру :

1) ассоциативный закон умножения в выполняется, так как он выполняется в , а ;

2) , так как , ;

3)  должно выполняться: . Но для  не существует .

Значит, алгебра  группой не является.

Однако, если из множества  исключить число  (такое множество обозначим , то, очевидно, в  умножение – алгебраическая операция, свойства 1 и 2 выполняются.

Рассмотрим свойство 3 в .

3) , так как . Выясним, принадлежит ли  множеству , , , .

;

числа ,  могут не принадлежать , значит, .

Следовательно,  группой не является.

1.7. Рассмотрим множество .

Аналогично предыдущему  группой не является, однако если из множества  исключить число , то легко видеть  – абелева группа.

1.8. Рассмотрим множество  квадратных матриц порядка  с целыми элементами и определителем, равным .

Докажем, что умножение – алгебраическая операция на множестве , то есть .

Действительно:

, , , , . Пусть .

Из определения произведения матриц следует, что элементы матрицы  целые. Т.к. определитель произведения матриц -порядка равен произведению определителей этих матриц, то . Значит,  и умножение – алгебраическая операция в .

Рассмотрим алгебру :

1) ассоциативный закон умножения в  выполняется (известно из теории матриц);

2) единичная матрица  принадлежит множеству , так как ее элементы целые и . Известно из теории матриц, что  – единичный элемент в ;

3) докажем, что .

Действительно, так как , то матрица  невырожденная, следовательно, существует обратная матрица , причем

.

Видим, элементы матрицы  целые. Далее , значит, по теореме об определителе произведения матриц, . Так как , , то . Значит .

Следовательно, алгебра  является группой, причем не абелевой, так как умножение на множестве матриц не коммутативно.

1.9.  Пусть  – совокупность всех подстановок множества , то есть совокупность взаимно однозначных отображений множества  на себя. Произведением двух подстановок из  называется результат последовательного выполнения двух взаимно однозначных отображений множества на себя. Известно, что умножение – алгебраическая операция на множестве , причем операция умножения ассоциативна, тождественная подстановка является единичным элементом на множестве , для любой подстановки из  существует в  обратная.

Следовательно, алгебра  является группой. Эта группа называется симметрической группой подстановок степени  или симметрической группой степени . Она имеет порядок  и не абелева при .

Пусть , множество  состоит из подстановок:

,       ,        ,

,      ,      ,

  – тождественная подстановка.

Найдем произведения подстановок   и

Действительно, при подстановке  1 переходит в 1, но при  1 переходит в 2, поэтому при  1 переходит в 2.

Далее, при подстановке  переходит в 3, а при подстановке  3 переходит в , поэтому при   переходит в  и т.д.

.

Составим таблицу умножения для группы . Такую таблицу в теории групп называют таблицей Кэли.

Из таблицы видим, что  – единичный элемент,

, , , , , .

Определение. Подстановка  называется четной или нечетной в зависимости от того, четное или нечетное число инверсий в нижней строке.

Во множестве   подстановки   – четные,   – нечетные.

1.10. Рассмотрим множество  корней  степени из .

.

Докажем, что умножение – алгебраическая операция на множестве , то есть .

Действительно: , , . Значит, , и умножение - алгебраическая операция в .

Рассмотрим алгебру

1) ассоциативный закон умножения в  выполняется, так как он выполняется в , а

2) , так как  является корнем -ой степени из 1. ();

3) для любого  существует . Действительно, так как , , то . Кроме этого, . Значит .

Следовательно, алгебра  – группа, причем абелева, порядка . Она называется мультипликативной группой корней  степени из 1.

Пусть . Тогда множество   состоит из элементов:

;

;

;

;

;

.

Составим таблицу умножения для группы . (Таблицу Кэли)

Напомним, что произведение двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, находится по формуле

.

Например:

Из таблицы видим: , , , , , .

1.11.  Легко видеть  и  – группы.

 

Подгруппы

 

Определение. Пусть  – группа, , умножение – алгебраическая операция в . Алгебра  называется подгруппой группы , если она сама является группой.

Примеры

2.1. , , ,  – аддитивные группы, причем ,

следовательно

, , ,  – подгруппы группы .

2.2. , ,  – мультипликативные группы, причем ,

следовательно

, ,   – подгруппы группы .

2.3. ,  – аддитивные группы, причем ,

следовательно  – подгруппа группы .

2.4.  – мультипликативная группа корней  степени из1, ,

следовательно  – подгруппа группы .

2.5. Пусть  – произвольная группа,  – единичный элемент,

а)  – группа, причем , значит  подгруппа группы , она называется единичной подгруппой.

б) , значит  – подгруппа группы .

Единичная подгруппа и сама группа называются тривиальными подгруппами.

Критерий подгруппы

Пусть  – группа, , умножение – алгебраическая операция в . Для того, чтобы алгебра  была подгруппой группы , необходимо и достаточно, чтобы .

Известна теорема Лагранжа.

Порядок любой подгруппы произвольной конечной группы является делителем порядка самой группы.

Примеры

2.6. Найти все подгруппы мультипликативной группы  корней
6-ой степени из 1. , где , .  – абелева группа.

Решение:

Пусть  – подгруппа группы . По определению и критерию подгруппы, умножение – алгебраическая операция в ; ;
. Кроме того, так как порядок группы равен 6, то подгруппы могут иметь порядки 1,2,3,6.

1. .  – единичная подгруппа.

2. Пусть , , , , следовательно, подгруппу данной группы множество  не образует.

3. Пусть , , . Кроме того , , . Следовательно, умножение – алгебраическая операция в . По критерию подгруппы, алгебра  - подгруппа данной группы. Легко видеть, что других подгрупп данной группы 2-го порядка нет.

4. Пусть , , , . Кроме того , , , , , . Это означает, что умножение – алгебраическая операция в . По критерию подгруппы, алгебра  – подгруппа данной группы. Других подгрупп данной группы 3-го порядка нет.

5. Очевидно, подгруппа 6-го порядка совпадает с самой группой.

Вывод: Данная группа имеет 4 подгруппы:

– единичная подгруппа,

 – подгруппа, являющаяся группой корней квадратных из 1,

 – подгруппа, являющаяся группой корней кубических из 1,

 – подгруппа, совпадающая с самой группой.

2.7. Найти все подгруппы симметрической группы подстановок
3-ей степени. .

Решение:

Пусть . По определению и критерию подгруппы, умножение – алгебраическая операция в , , , . Порядок  может быть равен 1,2,3,6.

1. .   – единичная подгруппа.

2. , . Кроме того, , , . Следовательно, умножение – алгебраическая операция в . По критерию подгруппы алгебра  – подгруппа данной группы.

3. Аналогично ,   – подгруппы данной группы. Других подгрупп 2-го порядка нет.

4. , , .Кроме того , , , , , . Значит, умножение – алгебраическая операция в . По критерию подгруппы, алгебра  - подгруппа данной группы. Видим, что  есть множество всех четных подстановок 3-ей степени, это множество обозначают , группу  называют знакопеременной группой степени 3. Других подгрупп 3-го порядка нет.

5. Очевидно, подгруппа 6-го порядка совпадает с самой группой. .

Вывод: Данная группа имеет 5 подгрупп: – единичная подгруппа, , , , , .

2.8. Выясните, образует ли подгруппу мультипликативной группы невырожденных квадратных матриц второго порядка с действительными элементами  множество  матриц вида , где  – действительные, отличные от 0 числа.

Решение:

По условию, . Если  – любая матрица из , то , и, следовательно, , значит   является невырожденной матрицей. Итак, .

Докажем, что умножение – алгебраическая операция в , то есть .

Действительно:

, , .

, , , .

, , , , то есть , и умножение – алгебраическая операция в .

Рассмотрим алгебру . . , , , матрица   невырожденная, значит