Нормальные делители и фактор-группы

Пусть в группе  взята произвольная подгруппа . , .

Определение. Подгруппа  группы  называется нормальным делителем этой группы, если левостороннее разложение группы  по подгруппе  совпадает с правосторонним..

	…			…

Левостороннее разложение группы  по подгруппе  состоит из классов , , , …

Правостороннее – из классов , , , …

Отсюда видим, что определению нормального делителя можно придать такую форму:

Определение. Подгруппа  группы  называется нормальным делителем этой группы, если для любого .

Примеры

Из определения следует, что все подгруппы абелевой группы являются в ней нормальными делителями. Во всякой группе  и единичная подгруппа, и сама группа будут нормальными делителями: оба разложения группы  по единичной подгруппе совпадают с разложением группы на отдельные элементы, оба разложения группы  по самой этой группе состоят из одного класса .

В примерах 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 §3 группы являются абелевыми, значит, каждая подгруппа является нормальным делителем. В примере 3.5 а левостороннее и правостороннее разложения группы  по подгруппе  не совпадают, следовательно, подгруппа  нормальным делителем группы  не является.

В примере 3.5 б знакопеременная подгруппа  является нормальным делителем группы , так как левостороннее разложение группы  по подгруппе  совпадает с правосторонним.

Фактор-группы

Пусть дана группа  и  - ее нормальный делитель. Он разбивает группу на непересекающиеся левые (правые) смежные классы, причем левые и правые смежные классы можно не различать.

	…
		,

где .

Множество всех смежных классов группы  по подгруппе  обозначим .

Определим на этом множестве произведение классов.

Определение. Произведением классов  и  называется множество .

Теорема. Произведение любых двух смежных классов группы  по подгруппе   есть смежный класс, причем .

Из теоремы следует, что умножение есть алгебраическая операция на множестве , тогда можно доказать, что алгебра  является группой.

Определение. Алгебра  называется фактор-группой группы  по нормальному делителю .

Примеры

4.4. Пусть  аддитивная группа целых чисел,  – подгруппа чисел, кратных 3, являющаяся нормальным делителем данной группы. Разобьем группу с помощью подгруппы  на попарно непересекающиеся смежные классы.

 

	…-1,2,5,8,11,…
	…-2,1,4,7,10,…
	…-3,0,3,6,9,…

.

– фактор-группа группы  по подгруппе .

Найдем, например, сумму классов  и . По теореме о сумме классов в аддитивной фактор-группе

.

Аналогично находится сумма любых других классов фактор-группы .

Составим таблицу сложения классов.

Из таблицы видим, что операция сложения классов коммутативна. Нулевой элемент – класс . Противоположный элемент для каждого класса равен , , .

4.5 Пусть  – мультипликативная группа корней 6-ой степени из 1,  – подгруппа корней квадратных из 1, нормальный делитель данной группы.

В примере 3.5 построены попарно непересекающиеся смежные классы группы   по подгруппе

.

 фактор-группа группы  по подгруппе .

Найдем произведение, например, классов  и . По теореме о произведении классов в мультипликативной фактор-группе

, так как , то  (по свойству 1 смежных классов). Следовательно, .

Таблица Кэли для фактор-группы

	Н

Из таблицы видим, что операция умножения классов коммутативна. Единичный элемент – класс . Обратный элемент для каждого класса равен
, , .

4.6. Пусть дана симметрическая группа 3-ей степени  и  ее подгруппа четных подстановок, являющаяся нормальным делителем данной группы (Пример 3.5 б).

В этом примере построены попарно непересекающиеся смежные классы группы  по подгруппе :

 – фактор-группа группы  по подгруппе .

Найдем, например, произведение классов   и . По теореме о произведении классов в мультипликативной фактор-группе

 (Использовали таблицу Кэли примера 1.10).

Таблица умножения классов фактор-группы

×
	А3

Из таблицы видим, что операция умножения классов коммутативна. Единичный элемент – класс . Обратный элемент для каждого класса
, .