Потоки платежей

Потоки платежей весьма часто встречаются на практике: зара­ботная плата, плата за квартиру, ежемесячный взнос на счет в банк некоторой суммы, откладываемой для покупки квартиры, и т.д.

Как правило, разного рода финансовые операции предусмат­ривают не отдельные разовые платежи, а множество распределен­ных во времени выплат и поступлений. Совокупность ряда рас­пределенных во времени платежей принято называть потоком платежей или денежным потоком. Любая финансовая операция предполагает наличие двух потоков платежей: входящего — поступления (доходы) и исходящего — выплаты (расходы, вложе­ния). Эти потоки, а также поток процентных платежей, создавае­мый начислением процентов, формируют соответствующий денеж­ный фонд.

Поток называется конечным или бесконечным в зависимости от количества платежей в нем.

Пусть Р_п = {Р_к, t_к} — поток платежей, где t_K — момент време­ни, а Р_к — платежи. Предполагается, что известна ставка процен­та i, обычно неизменная в течение всего потока.

Величиной потока в момент Т называется сумма платежей потока, дисконтированная к этому моменту

Величина P_п(0) называется современной величиной потока. Если есть последний платеж, то величина потока в момент этого платежа называется конечной величиной потока.

Пример 4.11, Имеем поток платежей Рп= ((-1000; 1), (1000; 2), (1800; 3), (2500; 4)}. Найдем характеристики этого потока при 8% ставке.

Теперь найдем конечную величину потока

Поток платежей, все члены которого положительные величи­ны, а промежутки между платежами одинаковы, называют финан­совой рентой или просто рентой.

Временной интервал между двумя последовательными выпла­тами называется периодом ренты. Срок от начала первого перио­да до конца последнего называется сроком ренты. Различают два основных типа рент: безусловные и условные ренты. Безусловные ренты — это ренты с фиксированным периодом, т.е. даты первой и последней выплат определены до начала ренты. Условные рен­ты — ренты, в которых дата первой или последней выплаты зави­сит от некоторого события, например пенсия.

По количеству выплат членов ренты на протяжение года рен­ты делятся на годовые (выплаты раз в году) и m — срочные (m — количество выплат в году). При анализе производственных инве­стиционных процессов иногда применяются ренты с периодами, превышающими год. Перечисленные виды рент называются дис­кретными.

В финансовой деятельности встречаются и такие потоки пла­тежей, которые производятся столь часто, что их практически можно рассматривать как непрерывные.

Текущим значением ренты называется денежная сумма эквива­лентная множеству всех выплат в начальный момент ренты. Нара­щенным значением (суммой) ренты называется сумма, эквивалент­ная множеству всех выплат в конце всего срока ренты. Для обыч­ной ренты текущее значение определяется за один период до первой выплаты, а наращенное значение — в момент последней выплаты. Очевидно, что и текущее, и наращенное значения зависят от про­центной ставки, используемой в уравнении эквивалентности.

По количеству начислений процентов на протяжении года различают ренты с ежегодным начислением, с начислением п раз в году, с непрерывным начислением. Моменты начисления про­центов могут совпадать или не совпадать с моментами выплат членов ренты. Однако, расчеты значительно упрощаются, если два указанных момента совпадают. Ренты по этому признаку класси­фицируются на простые и общие соответственно.

Пример 4.12. Найти текущее и наращенное значение ренты с выплатами 1000 у.е. в конце каждого месяца в течение двух лет. Проценты начисляются ежемесячно по номинальной ставке 6% годовых.

Приведем временную диаграмму выплат (рис. 4.10).

12 3: Эффективная ставка за месяц

Если Р_t наращенное значение простой обычной ренты, состо­ящей из n выплат, каждая в размере R с процентной ставкой i за период начисления, то уравнение эквивалентности для даты пос­ледней выплаты имеет вид:

Применяя к правой части уравнения формулу суммы членов геометрической прогрессии с первым членом R и знаменателем (1 + i), получим:

(4.3.3)

Множитель

(4.3.4)

называется коэффициентом наращения простой обычной ренты.

Текущее значение ренты Р определяется из условия эквивален­тности для текущего и наращенного значения обычной ренты:

(4.3.5)

Коэффициент перед R в формуле (4.3.5) называется дисконти­рующим множителем обычной простой ренты.

Переходим к нашему примеру. По формуле (4.3.5) вычисляем текущее значение ренты:

Наращенное значение найдем по формуле (4.3.3):

По соотношению начала срока ренты и какого-либо момента времени, упреждающего начало ренты, ренты делятся на немед­ленные и отложенные, или отсроченные. Для отложенной ренты срок ренты начинается в некоторый момент в будущем и ее при­нято считать обычной.

Важным является различие рент по моменту выплат платежей в пределах периода. Если платежи осуществляются в конце пери­одов, то соответствующие ренты называют обыкновенными, или постнумерандо, если же платежи производятся в начале периодов, то их называют пренумерандо. Иногда контракты предусматри­вают платежи или поступления денег в середине периодов.

Для вычисления параметров произвольного потока платежей

и, в частности, ренты достаточно уметь составлять уравнение эк­вивалентности для заданного момента времени. Однако для про­извольного ряда выплат эта задача может оказаться трудоемкой. Поэтому для вычисления параметров общей ренты целесообраз­но преобразовать ее в эквивалентную простую ренту.

Для простоты восприятия изобразим временную диаграмму (рис. 4.11).

Для эквивалентности данных рент необходимо выполнение следующих условий:

Процентные ставки за периоды этих рент должны быть эк­вивалентны.

Эквивалентные этим рентам значения, соответствующие одному и тому же моменту времени, должны совпадать.

Из определения эквивалентности процентных ставок и перво­го условия имеем:

(4.3.6)

Приравнивая наращенные за год значения обеих рент, получим:

(4.3.7)

С учетом (4.3.6) формула (4.3.7) запишется так:

Подставляя сюда выражение для i, найденное из (4.3.6), полу­чим формулу для выплат простой ренты:

Пример 4.13. Заменить общую ренту сроком два года с выпла­тами 1000 у.е. в конце каждого полугодия и начислением процен­тов по кварталам по ставке 8% годовых простой рентой с поквар­тальными выплатами.

Временная диаграмма выплат приведена на рис. 4.12.

Рис. 4.12

Известно, что R_o6 = 1000 у.е., n= 2, m = 4, j = 0,02. По формуле (4)3.8) имеем: