Тройной интеграл в сферических координатах

Область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.

В сферической системе координат положение точки Р (x, y, z) в пространстве определяется

тремя числами r, j, q, где r – расстояние от начала координат до точки Р, j - угол между

осью Оx и проекцией радиуса-вектора ОР точки Р на плоскость Оху, а q - угол между осью Oz

и радиусом-вектором ОР точки Р, отсчитываемый от оси Oz (рис.6). Тройка чисел r, j, q

называется сферическими координатами точки Р.

Ясно, что 0 £ r < +¥, 0 £ j < 2 p, 0 £ q £ p.

Координатные поверхности в этой системе координат:

r = const – сферы с центром в начале координат;

j = const – полуплоскости, исходящие из оси Oz;

q = const – круговые конусы с осью Oz.

Рис. 6.

Из рисунка видно, что сферические и декартовы координаты связаны

следующими соотношениями:

x = r sin q cos j, y = r sin q sin j, z = r cos q.

Якобиан данной системы функций

J = = = r ² sin θ.

Следовательно, | J | = r ² sin θ и формула (2) в данном случае принимает вид

, (4)

Выражение dv = r ²sin θ dr dθ dφ называется элементом объема в сферических координатах.

Замечание. Переходить к сферическим координатам удобно, когда область интегрирования

есть шар (уравнение его границы х ² + у ² + z ² = R ² в сферических координатах

имеет вид r = R) или его часть, а также если подынтегральная функция имеет

вид f (х ² + у ² + z ²).

Пример 4. V – область в пространстве, ограниченная сферой x ² + y ² + z ² = 2 az и двумя коническими

поверхностями x ² + y ² = z ² tg² α, x ² + y ² = z ² tg² β (0 < α < β < π /2).

В сферических координатах r, φ, θ область V имеет вид V = {0 ≤ r ≤ 2 a cos θ, 0 ≤ φ ≤ 2 π, α ≤ θ ≤ β }.

Следовательно,

Пример 5. Найти объем выпуклого тела Ω, вырезанного из конуса x ² + y ² = z ²

концентрическими сферами x ² + y ² + z ² = а ² и x ² + y ² + z ² = b ²(a < b).

Переходим к сферическим координатам: x = r sin q cos j, y = r sin q sin j,

z = r cos q. Из первых двух уравнений видно, что a ≤ r ≤ b. Из третьего находим

пределы изменения угла θ: r ²sin² q = r ²cos² q => tg q =1, q = π /4, т.е.

0 ≤ θ ≤ π /4 => V = || f (x, y, z) = 1 || = = || J = r ² sin q || ==

== 2 π · = 2 π = .