Колебания струны

Струна представляет собой тонкую, гибкую, сильно натянутую нить с равномерно распределенной по длине массой. При возбуждении струны, например, ударом или щипком, она будет совершать колебательное движение, при котором все ее участки смещаются в поперечном направлении.

Рассмотрим струну длины L, концы которой закреплены. Обозначим скорость распространения изгибных волн в струне V. При возбуждении колебаний на струне установится стоячая волна. При этом на концах будут находиться узлы, а между ними – одна или несколько пучностей. Так как расстояние между узлами равно λ/2, то на длине струны должно уложиться целое число полуволн (L = m λ/2), то есть на струне могут возникать только такие стоячие волны, у которых длина волны λ =2 L / m (m = 1, 2, 3 …). Используя формулу связи длины волны с частотой колебаний и скоростью распространения волны λ = V/f, получим формулу для определения собственных частот колебаний струны:

f = V /λ = mV/ (2 L). (4.1)

Скорость распространения поперечных колебаний в струне определяется формулой:

(4.2)

где F, d, ρ – сила натяжения, диаметр и плотность материала струны соответственно. Подставляя значения скорости в формулу (4.1), получим выражение для собственных частот колебаний струны:

где m = 1, 2, 3 … (4.3)

Наименьшая собственная частота f ₁ (m = 1) называется основной частотой или основным тоном. Более высокие частоты, кратные f ₁, называются обертонами или гармониками.

На рисунке 4.1 представлены стоячие волны, частоты которых соответствуют основному тону (m = 1) – рис.4.1а, первому обертону (m = 2) – рис.4.1б, второму обертону (m = 3) – рис.4.1в.

Частота основного тона определяет высоту звучания струны. Из формулы видно, что звук струны становится выше при увеличении натяжения струны. Увеличение длины струны, ее диаметра и плотности материала приводит к понижению звучания. Наличие и амплитуды обертонов, зависящие от способа возбуждения струны, определяют тембр излучаемого звука.